仓山推市场监管二维码办事指南手机扫一扫就明了

百度 3月22日，正参与江口沉银二期考古发掘的电子科技大学信息地学特色研究中心科研团队（以下简称探测团队）宣布：经过3个多月的努力，该团队已绘制出了一幅覆盖面积达10万平方米的“3D藏宝图”，为江口沉银古河道的准确定位提供了科学依据。

V matematice a logice se pojmem predikátová logika ozna?uje formální odvozovací systém pou?ívany k popisu matematickych teorií a vět.

Predikátová logika je roz?í?ením vyrokové logiky. Na rozdíl od vyrokové logiky má bohat?í vyjad?ovací schopnost. Predikátová logika si v?ímá struktury vět. V ka?dé větě rozli?uje individua, o kterych se něco predikuje. Predikát je chápán jako vlastnost nebo vztah.

Vztahy vyrokové logiky platí i v rámci predikátové logiky. Do vyrokové logiky p?idává kvantifikátory a vztah predikát – individuum. Individuum je prvek z nějaké mno?iny (univerza) a predikát je relace na této mno?ině.

Existuje mnoho druh? predikátové logiky. Predikátová logika prvního ?ádu obsahuje pouze jeden druh proměnnych pro individua. Mohou jimi byt p?irozená ?ísla, mno?iny, prvky, atd. Jako zvlá?tní p?ípad logiky prvního ?ádu existuje také predikátová logika prvního ?ádu s více druhy proměnnych pro individua, jimi? jsou body, p?ímky, roviny atd.

Dále existuje predikátová logika druhého ?ádu, která má dva druhy proměnnych: jedny pro individua a druhé pro mno?iny individuí, predikáty a funkce.

Predikátová logika prvního ?ádu má dokazovací systémy, které jsou korektní a zároveň úplné. Pro logiky vy??ích ?ád? to neplatí. Korektností se rozumí, ?e ka?dá formule dokazatelná z axiom? (p?edpoklad?) je tautologií. úplností se rozumí, ?e ka?dá tautologie je dokazatelná z axiom?.

Predikátová logika je také bezesporná, z ?eho? plyne její obecná nerozhodnutelnost.

Predikátová logika je exaktní věda

Ka?dá formální logika (matematická logika), a tak i predikátová logika je postavena jako exaktní věda, její jazyk je uměly formální jazyk s exaktní interpretací, a jinou mít nesmí. Formální jazyk je schopen popisovat (reprezentovat) pouze entity exaktního světa. Pokud má popisovat entity reálného světa, je nutno pou?ít prost?edníka, ktery to umo?ňuje, a tím je veli?ina viz Věda . Rozhodnutelnost (pravda, nepravda) je vlastností exaktního světa. Nelze ji uplatnit v neodstranitelné mlze vágnosti vyznam? p?irozeného jazyka s vágní, subjektivní, emocionální, a v ?ase se měnící interpretací, které ?íkáme konotace.

V minulosti si tyto okolnosti někte?í logici neuvědomovali a v logice pou?ívali p?irozeny jazyk v úloze objektového jazyka (někdy ve směsi s formálním jazykem), tak znehodnocovali ?istotu její vystavby. Ze shora uvedeného tedy plyne, ?e logika postavená nad p?irozenym jazykem nem??e existovat, a to ani ve své neformální podobě (není schopná zajistit rozhodnutelnost), ani ve formální podobě (p?irozeny jazyk nem??e byt sou?ástí exaktního světa). Existuje pouze formální logika, která je postavená na umělém formálním jazyce, a je schopna operovat pouze s objekty exaktního světa.

Aristotelovu logiku a ?slovní“ logiky navazujících autor? je nutno pova?ovat pouze za p?edobraz logiky, i kdy? jistě cenny.

Historie

Ko?eny predikátové logiky lze vystopovat a? k Aristotelově sylogismu, ktery se datuje do 4. století p?ed na?ím letopo?tem.

Aristotelova logika se zabyvá vztahem p?edpoklad? a závěru p?i dokazování. P?edpoklady pak definuje vyroky, které p?isuzují, nebo upírají jednu věc jiné. Věc, které je něco p?i??eno nebo odep?eno, je p?edmětem věty a to, co je p?i??eno nebo up?eno p?edmětu, je predikát. P?edmět a predikát jsou i tzv. pojmy (termy), které bychom dnes nazvali jmenné věty (p?ísudek je vyjád?en jménem nebo sponovym slovesem). Prohlá?ení v?ech medvěd? za obratlovce znamená, ?e ?medvěd" je p?edmětem a ?obratlovci" je predikát.

O vyvoj predikátové logiky se zasadil i Eukleidés. Jeho hlavním dílem jsou Základy o t?inácti dílech. Za?ínají stanovením deseti základních postulát? ?i axiom? geometrie a pak postupují systémem vět a d?kaz? ke stále slo?itěj?ím konstrukcím. Právě tento d?raz na axiomy se stal základním kamenem pro dal?í rozvoj.

Dal?í, kdo se zasadil o rozvoj predikátové logiky, byl Angli?an Vilém z Sherwoodu, ktery ve 13. století napsal knihu s názvem úvod do logiky. Nejpozoruhodněj?í rys knihy byl zp?sob, jakym se vypo?ádal s kvantifikátory. Pou?il logické vyrazy ?v?ichni", ?ne" a ?někte?í", na nich? jsou zalo?eny rozdíly mezi univerzálními a individuálními pojmy v Aristotelově sylogismu. Vilém z Sherwoodu uznává rovnocennost r?znych kombinací kvantifikátor? a negací vyroky, které nejsou uvedeny v Aristotelově Sylogismu: negace univerzálních a jednotlivych pojm?.

V sedmnáctém století německy filozof, vědec, matematik Gottfried Leibniz poskytl jako první systematicky vyklad predikátové logiky. Prakticky nic z jeho objev? nebylo zve?ejněno během jeho celého ?ivota – odhalení p?i?lo a? na po?átku dvacátého století. Leibniz p?i?el na to, ?e logika m??e byt chápána algebraicky v analogii se s?ítáním, od?ítáním a násobením, co? je systematicky zp?sob, jak ur?it platnost vyrok?. Zvlá?tností této logiky byla schopnost interpretace vyrok? dvěma zp?soby. Vyroky mohou byt chápány intencionálně nebo extensivně, co? bylo pojetí, které bylo p?ijato dal?ími generacemi logik? jako predikátová logika.

Dal?í vyvoj na sebe nenechal dlouho ?ekat. Matematik Leonhard Euler v roce 1768 publikoval zp?sob, jak reprezentovat vztahy subjekt? a predikát? geometricky. Cely systém pak o padesát let později vylep?il Francouz Joseph Diaz Gergonne a pak Angli?an John Venn a Ameri?an Charles Sanders Peirce během pozdního devatenáctého století.

Během devatenáctého století George Boole (viz Booleova logika) zdokonalil systém logiky, ktery stavěl na základech p?vodní logiky stoik?. Vytvo?il analogii mezi větnymi operátory a teorií mno?in, ?ím? logika nabyla na mo?nostech rozsáhlej?í interpretace.

V roce 1879 německy filozof Gottlob Frege publikoval Begriffsschrift (?esky pojmové písmo nebo také jazyk formulí), první koherentní systém predikátové logiky. Největ?í Fregeho pokrok od Aristotelova sylogismu byl dosa?en zejména v obecnosti jeho logiky. Ta dostala vyjad?ovací schopnosti vyjád?it v?echny kombinace kvantifikátor? a negací, stejně jako konjunkce, disjunkce, implikace a dvojité implikace (ekvivalence). Logika také dostala vyjad?ovací prost?edky pro relace – Aristotelova logika byla omezena na predikáty vztahující se pouze k jednotlivym term?m.

Frege byl p?i tvorbě svého pojetí logiky inspirován z matematického pojetí aditivní funkce. Funkce s?ítání o dvou argumentech $f:x+y$ p?edstavuje ur?itou hodnotu. Frege p?edpokládal, ?e predikáty mohou zastat argumenty stejně jako v p?íkladu relace $Otec(x,y)$ (x je otec y), co? chová jako funkce. Kdy? jména nahradíme proměnnymi, vznikne věta. Tak?e stejně jako $1+2$ ozna?uje sou?et dvou ?ísel, $Otec(Jan.Lucembursky,Karel.IV)$ (Jan Lucembursky je otcem Karla IV) znamená vztah mezi dvěma lidmi. Pou?ití funk?ního zápisu byl vyznamny odklon historického pojetí, ktery se Fregemu poda?ilo obhájit.

Tyto změny od logiky do té doby tradi?ní p?inesly pokrok tím, ?e se zprostily p?íli? úzké vázanosti na bě?ny jazyk a gramatiku. V díle Begriffsschrift pak Frege tvrdí, ?e záměna konceptu subjektu a predikátu na funkci a její argumenty bude vyznamnou změnou pro budoucí vyvoj, která se zachová do dal?ích let.

Frege byl ve svych plánech velmi ambiciózní. Plánoval svoji logiku za pomoci několika axiom? a jednoho inferen?ního pravidla pro dokazování. Domníval se, ?e s jeho logikou bude mo?né odvozovat v?echna pravidla aritmetiky. Tyto p?edstavy se později ukázaly jako liché.

Právě Bertrand Russell objevil paradox (Russell?v paradox, nebo také Russelova antinomie), kterym dokázal, ?e Fregeho systém logiky jako celek nebyl konzistentní. ?Objevil ho v roce 1901, kdy? pracoval na své knize ?Principles of Mathematics‘ (Principy matematiky) vydané v 1903. Paradox spo?ívá v definici mno?iny (symbol ozna?uje ?není prvkem mno?iny‘)“

V roce 1905 Russell vydal referát demonstrující vyjad?ovací sílu predikátové logiky jako nástroj pro ?e?ení filosofickych problém?. Ve ?lánku O ozna?ování (On denoting) Russell navrhuje metodu, jak analyzovat vyroky zdánlivě p?isuzující vlastnosti neexistujícím entitám.

?Nejznáměj?í p?íklad Russellovy ?analytické‘ metody se tykal pou?ití popis? a vlastních jmen. Ve svém díle ?Principles of Mathematics‘ (Principy matematiky) tvrdil, ?e ka?dé ozna?ení (nap?íklad ?Scott‘, ?modry‘, ??íslo dvě‘, ?zlatá hora‘) ozna?uje nebo se vztahuje k existující entitě. V roce 1905 ve svém ?lánku ?On Denoting‘ (O ozna?ování) tento extrémní realismus modifikoval a byl p?esvěd?en, ?e ozna?ování nemusí byt teoreticky jednotné. Zatímco logicky vlastní jména (slova jako ?tento‘ nebo ?takovy‘, která popisují vjemy, na ně? se subjekt bezprost?edně soust?edil) mají vyznam odkaz? s nimi spojenych, deskriptivní fráze (jako ?nejmen?í ?íslo vět?í ne? pí‘) lze chápat jako soubor veli?in (jako ?v?ichni‘ nebo ?několik‘) a defini?ní funkce (jako ?je ?íslo‘). Jako takové je nelze chápat jako odkazovací vyroky, ale spí?e jako ?nekompletní symboly‘. Jinymi slovy, lze je chápat jako symboly ve spojení s odpovídajícím kontextem, ale samostatně nemají ?ádny vyznam.“

Ve vyroku ?Sou?asny král Francie je ple?aty.“ defini?ní popis ?sou?asny král Francie“ hraje zcela odli?nou roli od vlastního jména ?Scott“ ve vyroku ?Scott je ple?aty.“ Jestli?e symbolem $K$ ozna?íme predikát je sou?asnym králem Francie a symbolem $B$ predikát ?je ple?aty“, pak Russell p?i?azuje vyroku logickou formu

Existuje $x$ takové, ?e  

(a)  $Kx$

(b) jestli?e pro nějaké $y$  je $Ky$, pak  $y=x$

      (c) $Bx$

V zápisu predikátového po?tu máme $x[(Kx\wedge y(Kyy=x))\wedge Bx]$ . První vyrok má naprosto odli?ny tvar od vyroku druhého. Pokud symbolem $s$ ozna?íme jméno ?Scott“, pak druhy vyrok má logickou formu $Bs$. Rozdíl mezi r?znymi logickymi formami umo?nil Russellovi objasnit t?i d?le?ité záhady. První záhada se tykala p?sobení zákona vylou?ení t?etího. Podle tohoto zákona toti? musí platit bu? vyrok ?Sou?asny král Francie je ple?aty" nebo vyrok ?Sou?asny král Francie není ple?aty". Av?ak oba vyroky p?edpokládají existenci krále Francie, co? je ne?ádoucí vysledek. Pokud se v?ak pou?ije logická analyza v podobě predikátového po?tu, je jasné, ?e první vyrok lze odmítnout bez vazby na existenci sou?asného krále Francie, konkrétně pravdivym vyrokem ?Není pravda, ?e existuje sou?asny král Francie, ktery je ple?aty“.

Druhá záhada se tykala zákona identity. P?esto?e je pravdivy vyrok ?Scott je autorem Waverley“, neznamená to, ?e predikát ?je Scott“ a ?je autorem Waverley“ jsou v ka?dé situaci zaměnitelné. Nap?íklad vyrok ?král Ji?í IV. chtěl vědět, zda Scott je autorem Waverlay“ má smysl, ale vyrok ?král Ji?í IV. chtěl vědět, zda Scott je Scott“ nedává smysl. Russell rozli?oval mezi formami, které pou?ívají vlastní jména a konkrétním popisem.

Ozna?me symbolem '' jméno "Scott", symbolem '' jméno "Waverley" a symbolem '' binární predikát "je autorem". Vyrok $s=s$ jistě není ekvivalentní s vyrokem $x[(Axw\wedge y(Aywy=x))\wedge x=s]$

 T?etí záhada se tykala pravdivosti negace existenciálního vyroku, jako je tvrzení "Zlatá hora neexistuje." Russell znovu rozli?oval mezi logickou formou a vlastním jménem. Nap?íklad vyrok, ?e "Scott neexistuje", je nepravdivy, proto?e vyrok $\sim x(x=s)$ je vnit?ně sporny. Musí existovat nejméně jeden subjekt, ktery je identicky '', proto?e v?dy platí, ?e ???. Na rozdíl od tohoto v?ak vyrok "Zlatá hora neexistuje" m??e byt pravdivy. Ozna?me '' predikát "je zlaty" a '' predikát "je hora". Pak v následujícím vyroku neexistuje ?ádny rozpor $\sim x(Gx\wedge Mx)$

 Po zna?né námaze tedy Russell dovedl najít ?e?ení svého paradoxu. S ?e?ením paradoxu se opět navrátil k Fregeho práci, na které dále stavěl. To vyústilo v dílo Principia Mathematica o t?ech ?ástech, které napsal spole?ně s Alfredem Northem Whiteheadem vydávaném od roku 1910. V díle se sna?í odvodit ve?keré matematické pravdy ze sady axiom? a odvozovacích pravidel zapsanych za pomoci symbolické logiky. Vytvo?ili propracovanou sadu koncept?, ve které má ka?dy reálny matematicky objekt p?i?azen sv?j vlastní koncept. Typy jsou uspo?ádány do hierarchie a mno?iny mohou obsahovat pouze objekty ni??ího typu. Vytvo?ili tak jakousi ontologii. Svazek Principia Mathematica je pova?ován za jedno z nejd?le?itěj?ích děl z oboru matematické logiky a filosofie od dob Aristotela. V?echny tyto události mají za následek, ?e se problematika predikátové logiky dostala do pop?edí zájmu filosofického my?lení té doby.

Během vyvoje predikátové logiky z?stala otev?ena otázka úplnosti pou?ívanych systém?. úplná logika znamená, ?e ka?dá pravdivá věta systému m??e byt i prokázána. Tou dobou se p?i zkoumání úplnosti zkoumala na platnost tvrzení, nikoliv zdali jsou pou?ity platné inference.

Ve své diserta?ní práci z roku 1930 Kurt G?del dokázal, ?e v?echna platná tvrzení (tautologie) v systému p?edch?dc? Russella a Whiteheada jsou dokazatelná z axiom?, a tak je mo?no o takové logice referovat jako o úplné.

V té době existují i jiné úspě?né pokusy té o nalezení zp?sobu dokazování úplnosti predikátové logiky. Mezi vyznamné pat?í pokusy Leona Henkina.

V 30. letech 20. století se o rozvoj predikátové logiky zasadil polsky logik Alfred Tarski. Byl to právě on, kdo poskytl formální vyklad predikátové logiky. A? do tohoto bodu byly systémy predikátové logiky axiomatické. To znamenalo, ?e se utvo?il maly souboru axióm? a inferencí, ze kterych byly tvo?eny teorémy za pomoci odvozování. Tarski v?ak na?el obecnou metodu, která byla zalo?ena na konceptu pravdivosti vět s kvantifikátory.

Tarského formální definice pravdy má následující strukturu:

Nech? $L$ je jazyk, $M$jeho interpretace, $e$ pravdivostní ohodnocení a $A$ je formule jazyka $L$.

?íkáme pak, ?e $A$ je splněna v $M$p?i ohodnocení $e$ a pí?eme $M$ ?$A[e]$, podle slo?itosti$A$: 

• $A$ je atomická formule: $A$≡ $p(t_{1},...t_{n})$, kde $p$ není rovnost. 
  • Potom $M$ ?$A[e]$, jestli?e $(t_{1}[e],...t_{n}[e])\in \ p_{m}$ 
• $A$ je atomická formule, $A$≡ $t_{1}=t_{2}$ a $t_{1}[e]=t_{n}[e]$ 
• $A$ je tvaru $\neg B$ a $M|\neq B[e]$ 
• $A$ je tvaru → $C$ a $M|\neq B[e]$ nebo $M$ ? $C[e]$ 
• Je-li $e$ ohodnocení proměnnych, $x$ je proměnná a $m$ je prvek z domény $M$, je pozměněné ohodnocení $e({\frac {x}{m}})$ definujeme: 

$e({\frac {x}{m}})(y)=\left\{{\begin{matrix}m,{\mbox{ pokud }}y\equiv {x}\\e(y),{\mbox{ pokud }}y{\not \equiv }x{\mbox{ }}\end{matrix}}\right.$  

• $A$ je tvaru$(\forall x)B$ a $M$?$B$$[e({\frac {x}{m}})]$ pro ka?dé $m\in \ M$
• $A$ je tvaru$(\exists x)B$ a $M$?$B$$[e({\frac {x}{m}})]$ pro nějaké $m\in \ M$

?íkáme, ?e formule $A$ je pravdivá v $M$ a pí?eme $M$?$A$, je-li $A$ splněná v $M$ p?i ka?dém ohodnocení proměnnych.

• Podobně jako u term?, splnění formule p?i nějakém ohodnocení $e$ závisí jen na ohodnocení $e(x)$ kone?ně mnoha proměnnych.
• Pokud má proměnná jen vázané vyskyty, potom splnění formule nezávisí na ohodnocení této formule.
• Je-li formule uzav?ená, potom její splnění je pro v?echna ohodnocení stejné. Sta?í ově?it, zda je splněna ?i nesplněna p?i jednom ohodnocení.
• Je-li uzav?ená formule splněna p?i alespoň jednom ohodnocení, je pravdivá.
  • ?íkáme, ?e formule je validní nebo logicky pravdivá a pí?eme ?$A$ pro ka?dou interpretaci $M$.

Odvozovací pravidla

$\neg \bigwedge _{x}P(x)\Leftrightarrow \bigvee _{x}\neg P(x)$

$\neg \bigwedge _{x}\neg P(x)\Leftrightarrow \bigvee _{x}P(x)$

$\neg \bigvee _{x}P(x)\Leftrightarrow \bigwedge _{x}\neg P(x)$

$\neg \bigvee _{x}\neg P(x)\Leftrightarrow \bigwedge _{x}P(x)$

$\bigwedge _{x}\bigwedge _{y}P(x,y)\Leftrightarrow \bigwedge _{y}\bigwedge _{x}P(x,y)$

$\bigvee _{x}\bigvee _{y}P(x,y)\Leftrightarrow \bigvee _{y}\bigvee _{x}P(x,y)$

$\bigvee _{x}\bigwedge _{y}P(x,y)\Rightarrow \bigwedge _{y}\bigvee _{x}P(x,y)$

$\bigwedge _{x}P(x)\Rightarrow P(x)$

$P(x)\Rightarrow \bigvee _{x}P(x)$

Místo $\bigvee _{x}$ (resp. $\bigwedge _{x}$) se ?asto pou?ívá $\exists x$ (resp. $\forall x$), kde $\exists$ je existen?ní kvantifikátor a $\forall$ je obecny kvantifikátor.

Související ?lánky

• Predikátová logika prvního ?ádu
• Predikátová logika vy??ího ?ádu

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky ?i videa k tématu Predikátová logika na Wikimedia Commons
• ?e?ené p?íklady z predikátové logiky
• Stanford Encyclopedia of Philosophy
• William of Sherwood's Introduction to Logic

Autoritní data	NKC: ph124584 PSH: 7101 GND: 4046974-8

Portály: Matematika